Thèse Systèmes Elliptiques Non Linéaires à Exposants Variables Analyse Approximation Numérique et Applications aux Matériaux « Intelligents » H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Perpignan Via Domitia École doctorale : Energie et Environnement Laboratoire de recherche : LAboratoire de Modélisation Pluridisciplinaire et Simulations Direction de la thèse : Mikael BARBOTEU Début de la thèse : 2026-09-01 Date limite de candidature : 2026-06-01T23:59:59 Les matériaux « intelligents » (piézoélectriques, électrorhéologiques, magnétorhéologiques) manifestent des comportements non standards, pilotés par des champs externes et une hétérogénéité
spatiale difficile à rendre avec les cadres Lp/W1,p classiques. Les espaces à exposants variables
Lp(·) et W1,p(·) fournissent un formalisme naturel pour modéliser des lois de croissance dépendant
de la position, en lien direct avec des opérateurs de type Leray-Lions. Le projet, en cotutelle
Université de Perpignan Via Domitia (75%) - Université de Craiova (25%) construit une chaîne intégrée depuis les fondements analytiques (existence, unicité/stabilité, bien-posé) jusqu'aux schémas éléments finis énergétiquement cohérents et à des simulations numériques pour des problèmes de contact élastique couplés électro-mécaniquement. Les livrables incluent des critères de convergence adaptés aux systèmes couplés, des solveurs robustes (Newton semi-lisse, jeux actifs) et une série d'études paramétriques montrant la valeur ajoutée des croissances p(·)/q(·) sur les pressions de contact, les champs de déplacement et les potentiels. Le projet vise 3-4 publications. Les matériaux « intelligents » (piézoélectriques, électrorhéologiques, magnétorhéologiques et composites hétérogènes) présentent des réponses non standards, dépendantes de champs externes (électriques, magnétiques, thermiques) et de l'hétérogénéité spatiale. Les modèles classiques à exposant constant (cadres Lp et W1,p) ne suffisent plus pour capturer ces comportements. Les modèles à exposant variable (croissance p(x) dépendant de la position) fournissent un cadre fonctionnel naturel pour l'inhomogénéité et l'anisotropie, et s'articulent avec des opérateurs de type Leray-Lions (généralisations du p(·)-Laplacien, opérateurs de courbure moyenne, capillarité).
Ce projet s'appuie sur deux piliers complémentaires :
- Université de Perpignan Via Domitia-LAMPS 75% : expertise en mécanique du contact,
problèmes bien posés pour des systèmes non linéaires, schémas numériques énergétiquement cohérents et simulations.
- Université de Craiova (Faculty of Sciences) 25% : expertise en systèmes elliptiques non linéaires
à exposants variables, opérateurs de Leray-Lions, méthodes variationnelles et points critiques.
La cotutelle s'inscrit dans l'Alliance ACROSS en croisant analyse rigoureuse, modélisation et
simulation pour des problèmes de contact en matériaux « intelligents ».
Pourquoi des exposants variables ? Ces espaces généralisent les espaces Lp et W1,p avec p > 1 fixe. On considère ces espaces car ils permettent d'encoder des lois de comportement à croissance localement modulée, ce qui est pertinent pour des milieux hétérogènes/stratifiés. Développer une chaîne intégrée de l'analyse à la simulation pour des systèmes elliptiques à exposants variables et démontrer l'apport pour des modèles de contact élastique impliquant des matériaux « intelligents ». Plus précisément :
O1) Fondements analytiques. Existence, unicité (lorsque pertinent) et stabilité pour des systèmes
couplés de type Leray-Lions à exposants variables sous hypothèses structurelles (Carathéodory, coercivité, monotonicité, croissance) et de couplage.
O2) Méthodes variationnelles et points critiques. Résultats d'existence et éventuellement de
multiplicité via le théorème du col et principes variationnels.
O3) Bien-posé & critères de convergence. Extension du paradigme « existence/unicité + convergence
des suites approximiantes » à ces systèmes et à des formulations pertinentes pour les
problèmes de contact avec les milieux piézoélectriques/électrorhéologiques.
O4) Modèles de contact pour matériaux « intelligents ». Contact unilatéral sans frottement
(et extensions avec frottement), fondations isolées, conditions mixtes mécaniques/électriques,
couplages réalistes électro-mécaniques.
O5) Approximation numérique & simulations. Schémas éléments finis cohérents en énergie ;
simulations numériques illustrant l'apport des exposants variables (pressions de contact, champs
de déplacement/potentiel). 3. Méthodologie et synergie
3.1 Cadre analytique (Université de Craiova et Université de Perpignan Via Domitia-LAMPS)
- Hypothèses structurelles sur a, a (Carathéodory, Leray-Lions) et sur F garantissant des énergies
C1 bien définies et la coercivité.
- Existence par méthodes directes du calcul des variations ; compacité via plongements à exposants
variables ; conditions de croissance/régularité adaptées.
- Stabilité et, si possible, unicité par arguments de (semi-)monotonie.
3.2 Modélisation du contact & problèmes bien-posés (Université de Perpignan
Via Domitia-LAMPS)
- Formulations variationnelles/hémivariationnelles pour le contact unilatéral avec couplages électromécaniques (ex. piézoélectriques), tolérant des croissances de type p(·).
- Concept de systèmes bien-posé (existence et unicité de la solution et convergence des suites
approximantes ; critères de convergence adaptés aux systèmes couplés.
- Traduction vers des modèles applicatifs (ex. contact sans frottement sur fondation isolée) avec
interprétation physique claire.
3.3 Discrétisation numérique et validation (Université de Perpignan Via Domitia-LAMPS))
- Discrétisations EF conformes dans les espaces à exposants variables ; gestion cohérente des coefficients hétérogènes et des non-linéarités couplées.
- Solveurs non linéaires robustes (Newton semi-lisse, jeux actifs pour les contraintes de contact) ;
vérifications sur cas tests académiques.
- Simulations numériques : antiplan/contraintes planes pour une couche piézoélectriques ; paramétriques sur p(x), q(x) et sur l'intensité des champs pour analyser l'influence sur la zone de contact et les grandeurs électro-mécaniques.

Profil/compétences : mathématiques appliquées, calcul des variations, EF/optimisation, bonne
maîtrise de l'anglais scientifique.

• Rigueur et méthode