Thèse Approximations de Problèmes d'Optimisation H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Perpignan Via Domitia École doctorale : Energie et Environnement Laboratoire de recherche : LAboratoire de Modélisation Pluridisciplinaire et Simulations Direction de la thèse : Florent NACRY ORCID 0000000153695246 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-07T23:59:59 L'optimisation mathématique est une branche des mathématiques et de l'informatique qui regroupe la modélisation, l'analyse et la résolution des problèmes dont l'objectif est de minimiser ou maximiser un critère sous certaines contraintes. De tels problèmes apparaissent naturellement dans des applications provenant de domaines scientifiques variés, par exemple, en physique (problèmes d'équilibre, minimisation d'énergie), en sciences de l'ingénieur (optimisation de rendement), en biochimie (optimisation des réactions biochimiques), en économie (maximisation du profit, équilibre offre/demande), en apprentissage automatique (calibration des
paramètres).
Cette thèse est motivée par le lien fort entre l'optimisation mathématique et les applications concrètes. En effet, dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de la sensibilité des problèmes d'optimisation. L'approche envisagée est guidée par deux cas de figure
particuliers pouvant être problématiques. Tout d'abord, nous souhaiterions établir des garanties mathématiques sur les solutions des problèmes d'optimisation perturbés par des imprécisions et des incertitudes. Par la suite, nous voudrions développer le point de vue
complémentaire à ce qui précède en approchant des problèmes d'optimisation «non-standards
» par des problèmes plus classiques pour lesquels nous disposons déjà de résultats théoriques et/ou numériques. Certaines applications induisent intrinsèquement de l'incertitude et des imprécisions sur les données utilisées dans les algorithmes de résolution : c'est typiquement le cas dans les problèmes issus de l'apprentissage automatique ou encore des modèles prédictifs. En effet, dans ces problèmes, la calibration des paramètres des modèles sont des solutions retournées par des «solveurs» de problèmes d'optimisation et sont donc des valeurs approchées des véritables solutions. Pour prendre en compte, en partie, ces approximations, les paramètres peuvent être recalibrés à partir des anciennes solutions approchées ce qui peut conduire à accumuler des erreurs et ainsi aboutir à des modèles peu fiables. Par conséquent, une étude mathématique préalable pour garantir une erreur moindre (en dépit de l'imprécision des données d'entrée) peut apporter plus de fiabilité aux modèles. Mathématiquement, l'étude de la sensibilité, dans ce contexte, consiste à développer un cadre assurant notamment que si deux problèmes d'optimisation sont proches (dans un sens à déterminer) alors les solutions le sont.
Toujours en se focalisant sur la culture numérique de l'optimisation, nous pouvons noter que les solveurs actuels peuvent résoudre des classes limitées de problèmes. Plus précisément, les solveurs d'optimisation disponibles sur le marché requièrent des propriétés
géométriques et/ou algébriques particulières pour les contraintes ou les critères à optimiser. Certains problèmes modélisés issus, par exemple, de l'informatique théorique ou de la reconstruction d'images ne satisfont pas nécessairement ces propriétés. La question est
donc de savoir si un problème à géométrie et à propriété algébrique favorables proche du problème initial existe. Dans les contextes où la réponse à cette question est positive, il conviendra, d'une part, de déterminer explicitement ces problèmes «favorables» et, d'autre part, de quantifier l'erreur commise.

Les deux grandes questions posées dans la thèse se rejoignent autour de la notion mathématique de la proximité de problèmes d'optimisation ; une notion à développer formellement au cours de la thèse en se basant sur des notions de proximité existantes mais dont la réponse reste partielle par rapport à nos questions. Les deux questions sont également duales. La première prend en compte une accumulation d'erreurs et interroge sur la cohérence de la solution par rapport à ces erreurs tandis que la seconde question prend en compte un problème d'optimisation idéal qui ne respecte pas les codes classiques pour en construire une version cohérente classique. Le ou la candidate retenu(e) intégrera le laboratoire LAMPS de l'Université Perpignan Via Domitia qui est un laboratoire pluridisciplinaire
centré sur la modélisation et la simulation numérique, dans leurs aspects théoriques et appliqués, et proposant une expertise dans certains secteurs de l'informatique, des mathématiques et de la physique.

Le/la candidat(e) devra être titulaire d'un Master en Mathématiques Fondamentales et/ou Appliquées et avoir de solides notions dans divers champs de l'analyse mathématique. Des compétences numériques et un vif intérêt pour les applications de l'optimisation sont
attendues.

Langue parlée, lue, écrite : Anglais et/ou Français